مقدمة إلى الدوال

ما الفرق بين الدّوال والمعادلات؟

في هذه المقالة، سنسعى لمعرفة المزيد عن الدّوال التي، على الأقل في الوقت الراهن، هي حقاً النوع الوحيد من المعادلات نحن مهتمون بها.

في الجبر نقوم بكتابة المعادلات على هذه الشاكلة

$y=$ من ثم نضيف شيء يحتوي على

$x$ ، ولكن إذا كانت المعادلة على شكل دالة، ففي هذه الحالة نقوم بإستبدال

$y$ بــ

$f(x)$ . وبالتالي عوضا عن كتابة الاحداثيات على شكل

$(x,y)$ فإنه يمكننا كتابتها بكل بساطة بهذه الطريقة

$(x,f(x))$ .

ما هي الدّوال؟

الدّالة هي نوع خاص من المعادلات التي تجسم العلاقة الفريدة بين اثنين من المتغيرات

$x$ و

$y$ . ويمكن القول أن الدّوال لها أهمية خاصة مقارنة بالمعادلات حيث أنّ الدّالة ستعطيك قيمة واحدة لا غير في شكل

$y$ مقابل كل قيمة تدخلها لها في شكل

$x$ . ندخل قيمة واحدة لا غير، ونحصل على قيمة واحدة لا غير.

في النهاية يمكننا الحديث عن جهاز للدّوال يحتوي على جانبين، جانب للمدخلات وجانب للمخرجات. هذا الجهاز ليس سوى المعادلة التي تربط

$x$ و

$y$ . عندما نقوم بإدخال قيمة

$x$ من جانب المدخلات الخاص بالجهاز، سيتم احساب قيمة

$y$ واحدة بالضبط وسنجدها على الجانب المخرجات الخاص بالجهاز.

بيان الدّالة

بسبب هذا النوع من العلاقة الأحادية بين المدخلات والمخرجات، يمكنا أن نعتبر أن الدالة متكونة من مجموعة أزواج المدخلات والمخرجات.

كلّ زوج يمثل نقطة واحدة في بيان الدالة. وبالتالي فإن البيان يمثل صورة لجميع أزواج المدخلات والمخرجات وهو يمكّنا من التنبؤ وتحديد المخرجة التي سترجعها لنا الدالة مقابل أي مدخلة.

مجموعة التعريف والمدى

إنّ كلّا من مفهومي مجموعة التعريف والمدى يرتبطان ارتباطاً وثيقا بمفهوم الدالة وبالعلاقة الأحادية بين المدخلات والمخرجات التي تجسّدها الدالة. حيث يمكننا تعريف مجموعة تعريغ الدّالة كمجموعة قيم المدخلات المحتملة كافة. ولكن على حسب الدالة موضوع الدرس فإن بعض القيم لا يمكن احتسابها كمدخلات.

على سبيل المثال، نعرف أنه بالنسبة للأعداد الحقيقية على الأقل لا يمكننا احتساب الجذر التربيعي لعدد سالب. وبالتالي إذا كان لدينا جذر تربيعي بالدّالة موضوع الدرس لن يمكننا إدخال أية قيمة لجهاز الدّالة على حد التعبير، خاصة إذا كانت هذه القيمة ستضطرنا لتسجيل علامة سالبة تحت الجذر التربيعي. بإختصار هذا النوع من المدخلات خير صالح لهذا الصنف من الدّوال. هذا النوع من المدخلات لا يمكن احتسابها في الدّالة وبالتالي فهي لا تنتمي لمجموعة التعريف الخاصة بالدّلة.

أمّا بالنسبة لمدى الدّالة فإنّه مرتبط كليّا بمجموعة تعريفها وذلك لأن المدى متكون من جميع القيم التي نتحصل عليها وذلك كنتيجة لإدخال جميع القيم التي تكوّن مجموعة التعريف لجهاز الدّالة على حد التعبير.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا دالّة

$x$ مربّع، والتي يشار إليها

${{x}^{2}}$ ، فإنّه يمكننا أن نضع أي قيمة نريد دون كسر قواعد الرياضيات أو قواعد جهاز الدّالة على حد التعبير. في هذه الحالة مجموعة التعريف هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. ومع ذلك فإن مدى هذه الدالة هو مجموعة الأعداد حقيقية الموجبة بغض النظر عن ما إذا كان بإمكاننا احتساب قيم سلبية أو إيجابية في الدّالة لأننا سنقوم باحتساب مربّع كلّ قيمة. وبالتالي سنحصل على أعداد موجبة فقط كمخرجات. إذا ذلك هو مدى الدّالة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط.

ما هي المعادلات التي ليست دوال؟

إنّ الدّالة ليست بالمعادلة التي يمكن أن تعطينا قيم لمخرجات متعددة كنتيجة لقيمة مدخلة واحدة. الدائرة تعتبر مثال جيّد للمعادلة التي لا يمكن اعتبارها كدالة. حيث إذا قمنا بإختيار أي قيمة

$x$ داخل الدائرة يمكن أن نرى أن معادلة الدائرة ستعطينا قيمتين كمخرجتين وذلك كنتيجة لقيمة مدخلة واحدة. هنا علينا أن تذكر أنّه بحسب التعريف يمكن اعتبار معادلة ما كدالّة إذا أعطتنا قيمة مخرجة واحدة بالضبط لكل قيمة مدخلة. وبالتالي يمكن أن نرى بوضوح أن الدائرة لا يمكن أن تكون دالة على الإطلاق.

اختبار الخط العمودي

وهذا يقودنا إلى طريقة جيدة لاختبار الدّوال. تسمى هذه الطريقة بإختبار الخط العمودي، حيث أنه إذا قمنا برسم خط عمودي في أي مكان من مجال الدالة فإنه سيتقاطع مع البيان مرة واحدة فقط. أما إذا هنالك خط عمودي واحد يتقاطع مع البيان أكثر من مرة، فإن النقاط التي يتقاطع فيها مع البيان تمثل قيم لمخرجات متعددة مقابل قيمة مدخلة واحدة وبالتالي فإن هذا البيان لا يمثل دالة.

مجموعات الدوال

يجب علينا أن نضع في اعتبارنا أيضا أن الدالة نفسها يمكن أن تتألف من عدة دوال حيث أنّ الدوال متعددة الحدود تعتبر مثال جيد لهذه الخاصية. كلّ هذه القيمة

$f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1$ تمثل دالة ولكن حتى المصطلحات الأربعة التي بداخلها هي أيضا تعتبر دوال. حتى إذا أخذ كل أحد منها بشكل منفصل فإنه سينجح في إختبار الخط العمودي. هذه الدالة تتكوّن من مجموعة من الدّوال الأخرى.

تركيب الدّوال

كما يمكن للدّوال أن تكون مركبة التراكيب حيث يتم تركيب دالة داخل آخرى. على سبيل المثال، ليكن

${{e}^{x}}$ و

${{x}^{2}}$ دالتان اثنتان، فإنه حتى

$\mathop{e}^{{{x}^{2}}}$ تعتبر دالة حيث أن

${{x}^{2}}$ مركبة داخل

${{e}^{x}}$ . أيضا فإن

$\sin ({{x}^{2}}+1)$ تعتبر مثالا جيد آخر لتركيب الدوال.

Original

افهم الرياضيات بسهولة

بحث هذه المدونة الإلكترونية